No Ar !

O blog " Mr. Isaac Newton ", foi criado pelos alunos do 1º ano B (Tairone, Jade, Camila, Tatiana, Vitor, Raffael), do Colégio Opção em Vitória da Conquista - BA, no intuito de ajudar as pessoas a entenderem e aprenderem mais sobre Matemática, focado no assunto de Funções. O Blog vai tratar de tudo sobre funções, desde a parte téorica, até a aplicação no nosso dia-a-dia.

 O nome do Blog foi escolhido para homenagear um dos maiores matemático da história, Sir.Isaac Newton, que nasceu em 4 de Janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727.

Sua obra é considerada uma das mais influentes da história.

A história conta...

- O que é função ?

Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor de x sendo a imagem da função.

As funções são divididas em: Função do 1º grau, Função do 2º grau, Função modular, Função exponencial e Função logarítmica

- Como surgiu o estudo de funções ?
Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leonardo Ferrugem em 1998, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos.Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do séculoXVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciávei sem qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano. 


- Matemáticos que contribuiram com o estudo de funções.

____Leonhard Euler : foi um pioneiro suíço matemático e físico . Ele fez importantes descobertas em campos tão diversos como o cálculo infinitesimal e teoria dos grafos . introduziu muito na matemática moderna terminologia e notação, em especial para a análise matemática , tais como a noção de uma função matemática , é considerado o matemático mais proeminente do século 18 e, possivelmente, o maior de todos os tempos.

A declaração atribuída a Pierre-Simon de Laplace expressa Euler de influência sobre a matemática: "Leia Euler, leia Euler, ele é nosso professor em todas as coisas ", que também foi traduzido como" Leia Euler, leia Euler, ele é o mestre de todos nós. " 

____Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet: desenvolveu importantes teoremas nas áreas de funções elípticas e analítica aplicada técnicas para a teoria matemática que resultou no fundamental desenvolvimento da teoria dos números. Sua obra mais importante foi a convergência da série de Fourier.

Ele também aplicou sua matemática resultados da física, como a análise de vibração de cordas e escreveu uma crítica das idéias de estabilidade do sistema solar, tal como proposto por Pierre Laplace

____Joseph-Louis Lagrange : auto-didacta por natureza, publicou a 23 de Julho de 1754 o seu primeiro trabalho sobre matemática, que assumiu a forma de uma carta escrita a Giulio Fagnano e que curiosamente terá assinado com o pesudónimo de Luigi De la Grange Tournier. Descobriu que o resultado não era original, o que lhe deu mais força para continuar a investigar.

Sucedeu a Euler, em 1766, como director da Matemática na Academia da Ciência de Berlim, cargo que exerceu durante 21 anos. Deixou Berlim em 1787 e partiu para Paris, onde permaneceu o resto da sua vida.

 Em teoria dos números provou que todo o natural é soma de quatro quadrados e o teorema de Wilson (p é primo se e só se p divide (p-1)!+1).

____Gottfried Leibniz: foi um alemão matemático e filósofo. Leibniz ocupa um lugar de destaque na história da matemática e da história da filosofia desenvolveu o cálculo infinitesimal , independentemente de Isaac Newton e Leibniz de notação matemática tem sido amplamente utilizada, desde que foi publicado. Leibniz também desenvolveu o sistema numérico binário , que é a base de praticamente todos os computadores digitais .

- Pra quê estudar funções ?
A noção de Função foi-se construindo e aperfeiçoando ao longo de vários séculos. O estudo de função não é restrita apenas aos interesses da Matemática, as funções fazem parte do nosso cotidiano e estão presente na realização das coisas mais elementares que fazemos.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções a todo momento

Procurando as Coordenadas.

Para que servem os Gráficos ?

Um gráfico serve para visualizar a informação de maneira mais direta, ou seja, apenas olhando a forma da função. Por exemplo, em um gráfico de Velocidade X Tempo você consegue saber se o carro está acelerando ou desacelerando só de ver que a reta está na ascendente ou descendente, respectivamente. Ver este tipo de informação em uma equação, não é tão direto assim. A representação gráfica de um problema pode ajudar muito a encontrar sua solução bem como a representação gráfica de uma solução pode ajudar muito a sua melhor compreensão.

- Plano Cartesiano:

Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:

- Interpretando Gráficos:

O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado (x , y ), onde x: abscissa e y: ordenada.

Marcando pontos no plano cartesiano:


Dados os pontos A(3,6), B(2,3), C(-1,2), D(-5,-3), E(2,-4), F(3,0), G(0,5), represente-os no plano cartesiano.

Marcando o ponto A(3,6)
Primeiro: localiza-se o ponto 3 no eixo das abscissas
Segundo: localiza-se o ponto 6 no eixo das ordenadas
Terceiro: Traçar a reta perpendicular aos eixos, o encontro delas será o local do ponto

- Aplicações práticas de gráficos:
O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.

Parábolas... Pra quê te quero ?

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

Ela está em toda parte...

Como se usa as Funções no Dia a Dia ?


Em muitas coisas, algumas tão simples que ninguém se dá conta.
Por exemplo, a cada pessoa do mundo corresponde um nome.

Temos uma função nome definida no conjunto das pessoas e que, a cada uma delas associa seu nome. Não é uma função injetora, pois várias pessoas podem ter o mesmo nome.

Outra bem simples: Você toma R$ 1000 emprestados a uma taxa mensal de juros "j" para pagar após "n" meses. Então, ao final deste período você vai pagar o valor V(n,j) = 1000 *(1+j) ^ n. O valor a pagar é função de j e de n.


Em nosso dia-a-dia , há muitos exemplos de funções , dentre eles , temos :


* a altura de uma criança é função de sua idade ;
* o tempo de viagem é função , entre outras coisas , da distância percorrida ;
* o consumo de combustível é função , entre outras coisas , da velocidade ;
* o imposto de renda é função do salário .

É também muito comum ,usarmos gráficos ilustrando a dependência de uma grandeza em relação a outra , que podem ser feitos em forma de barras , colunas , círculos ou linhas .


A partir desses gráficos , podemos obter diferentes informações sobre as funções por eles representadas .

Como , por exemplo , um gráfico que represente a variação da dívida do setor público em função do tempo decorrido , bastante utilizado nas colunas econômicas de jornais e revistas .

Um olhar sobre as ciências.

Problemas envolvendo Funções.

1 - O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a:



2 - Um objeto foi lançado do topo de um edifício de 84 m de altura, com velocidade inicial de 32 m/s. Quanto tempo ele levou para chegar ao chão? Utilize a expressão matemática do 2º grau d = 5t² + 32t, que representa o movimento de queda livre do corpo.



3 - Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.
 
4 - O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros.



5 - O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário.



Gabarito:

1 - 250m, 2,5 s
2 - 2 s
3 - R$ 16,10
4 - R$ 9.496,00
5 - R$ 54.800,00

Curiosidades...

Você conhece o número mágico?


1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:
Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.
Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:
875 - 578 = 297
Agora inverta também esse resultado e faça a soma:
297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Curiosidade com números de três algarismos


Escolha um numero de três algarismos:
Ex: 234
Repita este numero na frente do mesmo:
234234
Agora divida por 13:
234234 / 13 = 18018
Agora divida o resultado por 11:
18018 / 11 = 1638
Divida novamente o resultado, só que agora por 7:
1638 / 7 = 234
O resultado é igual ao numero de três algarismos que você havia escolhido: 234

O que é um número capicua?


Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:
Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.

Quanto vale um centilhão?


O maior número aceito no sistema de potências sucessivas de dez, é o centilhão, registrado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou o número 1 seguido de 600 zeros (embora apenas utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).

Data histórica: 20/02 de 2002


Quarta-feira, dia 20 de fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio.
Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.
É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que dão o mesmo número quando lidos da esquerda para a direita, ou vice-versa). A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).
A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111. A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.
Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

Pérolas da Matemática !!!

Quando falta o mínimo de sabedoria nas provas, algumas pessoas recorrem à criatividade para responder certas perguntas, são dai que saem as famosas Pérolas, vamos ver algumas relacionadas a Matemática !

"A principal função da raiz é se enterrar"
"Ângulo é duas linhas que vão indo e se encontram."
"Triângulo são os filhos trigêmeos do ângulo."
"Circunferência é uma roda chata. Para a sua fabricação usamos o compasso."
"Tangente é quando a bola passa raspando no jogo de futebol. Ela também tem o nome de trave."
"Conjunto vazio é aquele em que os músicos não sabem nada de música."
"Um paralelepípedo é um animal cujos dois pés são paralelos."
"Um número concreto é um número que vemos a olho nu."
"Triângulo é quando duas pessoas gostam da mesma, como vemos nas novelas o dito chamado ‘triângulo amoroso’."
"Quando abre o ângulo é seno e quando fecha é cosseno porque cola no seno."

Dúrlia "A professora"

E nesse  post, nós do grupo queríamos homenagear a nossa professora de Matemática, a Dúrlia, a razão da criação do Blog.
Dúrlia, excepcional como professora, gente boa, inteligente, sempre tentando agradar a todos, fazendo seu trabalho muito bem feito, sempre com seus textos que divertem toda a sala !
Durlia !!!!
Vlw !
Nós te adoramos !!